Đường tròn Ơle!!!

Started by đi_học_hỏi, April 15, 2004, 02:52:35 am

previous topic - next topic

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

đi_học_hỏi

Chào chào
Em đến đây để học hỏi(như cái nick của mình đó)
có điều em chỉ mới học lớp 8 thôi, nhưng hâm mộ mấy anh chị lắm
Cho em hỏi được không vậy?
Mấy anh chị có thể hướng dẫn cho em cách chứng minh đường tròn ơle được không vậy-đường tròn đi qua 9 điểm...(hướng dẫn cụ thể 1 chút nhé).
Cảm ơn các anh chị rất rất nhiều
Mong rằng các anh chị sẽ reply trả lời câu hỏi của em

Lomonoxop

Ngày xửa ngày xưa, lớp 8 mình hãn còn nghịch đất cát, trẻ bây giờ từ tiểu học đã có chí làm quan rùi. Khâm phục, khâm phục !
Đây là đường tròn Ơle

[align=center][/align]

Đường tròn đi qua chín điểm, hay còn gọi là đường tròn Ơle hoặc đường tròn Feuerbach, là đường tròn đi qua chân các đường cao
, ,và , của tam giác ABC. Năm 1765, Ơle chỉ ra rằng nó  đi qua trung điểm , , , của tam giác ABC. Theo định lý Feuerbach, đường tròn 9-điểm này đồng thời đi qua trung điểm
, và của đoạn thẳng được tạo bởi H và các đỉnh của tam giác.Các điểm này vẫn được gọi là  được  điểm Ơle.
Đường tron vì đó mà gọi là đường tròn 9-điểm.
Đường tròn được xác định bởi hàm số :
Và phương trình :
N là tâm của đường tròn, bán kính của đường tròn là ,
Đường tròn 9 -điểm chia đôi mỗi mỗi đường nối từ trực tâm tới một điểm trên đường ngoại tiếp vòng tròn. Các vòng tròn bên trong, và ngoài cũng ngoại tiếp với nhau.
[align=center]
[/align]
Đường tròn nội tiếp I và 3 đường tròn ngoài tiếp J_a, J_b, J_c đều tiếp xúc với đường tròn 9-điểm. Ở đó, 3 trong 9 điểm thuộc đường tròn 9-điểm tạo bởi 3 đường tròn ngoại tiếp, cũng chính là các đỉnh của tam giác Feuerbach.
Chỉ có thể giới thiệu lờ mờ vậy thùi, bác nào biết rõ hơn không, mách em nó với
 [/co

chuoi

1. Vẽ đường tròn DT ngoại tiếp tam giác Ha, Hb, Hc.
2. CM: Ea, Eb, Ec (trung điểm các HA, HB,HC) nằm trên DT
(HaEcHc^) = 2(HaCHc^) = (HaCHc^)+(HaAHc^) = (HcHbB^)+(BHbHa^)= (HaHbHc^). => Ec nằm trên đường tròn DT, CM tương tự cho Ea,Eb
3. CM: Ma, Mb,Mc nằm trên đường tròn DT.
(HcMaHa^) = 2(HaCHc^)=(HaEcHc^). => Ma nằm trên đường tròn DT

keira_khtn_1412

chỉ cần sử dụng 1 ít về tứ giác nội tiếp là được thôi mà.

Hêrong

về đường tròn ơle tớ có một bài toán thú vị sau:
cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn tâm (O) có trực tâm H trọng tâm G tâm đường tròn nội tiếp I
tính khoảng cách giữa các điểm trên và tất nhiên là có cả tâm đường tròn Ơle nữa đó

Hêrong

December 14, 2008, 01:49:11 pm #5 Last Edit: December 18, 2008, 05:28:48 pm by Hêrong
nói về đường tớ lại nghĩ đến đoạn thẳng Ơ le
tớ có một bài toán sau:
cho tam giác ABC và điểm I nằm trong tam giác sao cho các góc AIB BIC CIA bằng 120 độ CMR:
đường thẳng Ơle của 3 tam giác AIB BIC CIA  đồng qui trên một điểm thuộc đường thẳng Ơ_le của tam giấcBC (đó là trọng tâm của tam giác ABC)
các bạn hãy tìm xem điểm I có những tính chất gì nừa?

thanhtra_dhsp

Quote from: Hêrong on December 14, 2008, 01:44:17 pm
về đường tròn ơle tớ có một bài toán thú vị sau:
cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn tâm (O) có trực tâm H trọng tâm G tâm đường tròn nội tiếp I
tính khoảng cách giữa các điểm trên và tất nhiên là có cả tâm đường tròn Ơle nữa đó

Tâm tỉ cự
Người cười vào lúc cuối cùng mới là người chiến thắng!

thanhtra_dhsp

Quote from: Hêrong on December 14, 2008, 01:49:11 pm
nói về đường tớ lại nghĩ đến đoạn thẳng Ơ le
tớ có một bài toán sau:
cho tam giác ABC và điểm I nằm trong tam giác sao cho các góc AIB BIC CIA bằng 120 độ CMR:
đường thẳng Ơle của 3 tam giác AIB BIC CIA  đồng qui


Dựng ra ngoài các tam giác đều [TEX]BCX, CAY, ABZ[/TEX] dễ dàng AX, BY, CZ đồng quy
Người cười vào lúc cuối cùng mới là người chiến thắng!

anhvu

Quote from: thanhtra_dhsp on December 15, 2008, 06:02:45 pm
Tâm tỉ cự

đề nghị thanhtra_dhsp post đầy đủ lời giải. Không phải ai cũng hiểu nhiều về tâm tỉ cự như bạn đâu.

anhtuyen_302

Từ đấy ta chứng minh được đường thẳng Euler của 3 tam giác IAB, IBC, ICA đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Có niềm tin là có tất cả. Vậy khi chưa làm được, bạn hãy nói: "Làm bằng niềm tin"!!!
[move]Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích![/move]

anhtuyen_302

December 24, 2008, 06:33:03 pm #10 Last Edit: December 24, 2008, 07:41:16 pm by thanhtra_dhsp
Cho tam giác [tex]ABC[/tex] có hai đường cao [tex]BB_{1}[/tex], [tex]CC_{1}[/tex]. [tex]E, F[/tex] lần lượt là trung điểm của [tex]AC[/tex] và [tex]AB[/tex]. [tex]EF[/tex] và [tex]B_{1}C_{1}[/tex] cắt nhau tại [tex]K[/tex]. Chứng minh [tex]AK[/tex] vuông góc với đường thẳng [tex]Euler[/tex] của tam giác [tex]ABC[/tex].
Có niềm tin là có tất cả. Vậy khi chưa làm được, bạn hãy nói: "Làm bằng niềm tin"!!!
[move]Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích![/move]

thanhtra_dhsp

Đặt [tex]I=EB\cap FC[/tex] theo định lí [tex]Pappus[/tex] thì [tex]H, G, I[/tex] thẳng hàng
Gọi [tex]J[/tex] là tâm đường tròn [tex]Euler[/tex] của tam giác [tex]ABC[/tex]
Dễ dàng chứng minh được [tex]I[/tex] là cực của [tex]AK[/tex] với đường tròn [tex]Euler[/tex] của tam giác [tex]ABC[/tex]
Suy ra [tex]AK[/tex] vuông góc [tex]IJ[/tex]
Mà [tex]J, O, H, G, I[/tex] thẳng hàng [tex]\Rightarrow AK[/tex] vuông góc [tex]OH[/tex]
Người cười vào lúc cuối cùng mới là người chiến thắng!

thanhtra_dhsp

Mình cũng có một số về đường thẳng và đường tròn Euler
1. Cho tam giác [tex]ABC[/tex], các đường cao [tex]AA_1, BB_1, CC_1[/tex]. [tex]A_1B_1\capAB=C_2, B_1C_1\cap BC=A_2, C_1A_1\cap CA=B_2[/tex]. Chứng minh rằng [tex]A_2, B_2, C_2[/tex] thẳng hàng và đường thẳng đi qua [tex]A_2, B_2, C_2[/tex] vuông góc [tex]OH[/tex]
2. Cho tam giác [tex]ABC[/tex] nội tiếp đường tròn [tex](O)[/tex]. Đường trung tuyến đối diện đỉnh [tex]A[/tex] cắt [tex]BC, (O)[/tex] tại [tex]A_1, A_2[/tex]. Đường thẳng qua [tex]A_1[/tex] vuông góc [tex]OA[/tex] cắt tiếp tuyến tại [tex]A_2[/tex] với đường tròn [tex](O)[/tex] tại [tex]A_3[/tex]. Các điểm [tex]B_3, C_3[/tex] xác định tương tự. Chứng minh rằng [tex]A_3, B_3, C_3[/tex] thẳng hàng
Người cười vào lúc cuối cùng mới là người chiến thắng!

thanhtra_dhsp

Quote from: anhtuyen_302 on December 24, 2008, 06:33:03 pm
Cho tam giác [tex]ABC[/tex] có hai đường cao [tex]BB_{1}[/tex], [tex]CC_{1}[/tex]. [tex]E, F[/tex] lần lượt là trung điểm của [tex]AC[/tex] và [tex]AB[/tex]. [tex]EF[/tex] và [tex]B_{1}C_{1}[/tex] cắt nhau tại [tex]K[/tex]. Chứng minh [tex]AK[/tex] vuông góc với đường thẳng [tex]Euler[/tex] của tam giác [tex]ABC[/tex].

Còn cách thứ hai:
Lấy [tex]I, J[/tex] là trung điểm [tex]OA, HA[/tex]. Dễ dàng chứng minh được AK là trục đẳng phương của [tex](I, \frac{OA}{2}), (J, \frac{OH}{2})[/tex]. Suy ra [tex]AK[/tex] vuông góc [tex]IJ[/tex] suy ra [tex]AK[/tex] vuông góc [tex]OH[/tex]
Người cười vào lúc cuối cùng mới là người chiến thắng!

thanhtra_dhsp

Một số bài toán khác về đường tròn Euler:
1. Cho tam giác [tex]ABC[/tex] và [tex]E[/tex] là tâm đường tròn [tex]Euler[/tex] của tam giác. Gọi [tex]E_a, E_b, E_c[/tex] là tâm đường tròn [tex]Euler[/tex] của tam giác [tex]EBC, EAC, EAB[/tex]. Chứng minh rằng [tex]AE_a, BE_b, CE_c[/tex] đồng quy.
2. Cho tứ giác [tex]ABCD[/tex]. Chứng minh rằng:
a. Đường tròn Euler của các tam giác [tex]ABC, CBD, CDA, DAB[/tex] cắt nhau tại một điểm
b. Tâm đường tròn [tex]Euler[/tex] của các tam giác [tex]ABC, CBD, CDA, DAB[/tex] đồng viên
Người cười vào lúc cuối cùng mới là người chiến thắng!